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问个点集拓扑的问题

紫幻帝

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1# 大 中 小 发表于 2010-7-28 22:53  只看该作者

问个点集拓扑的问题

如果一个拓扑空间中每一个收敛序列都只有一个极限点，那么它是一个Hausdorff空间
    这话对不对？

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季候风

超级版主

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2# 大 中 小 发表于 2010-7-28 23:52  只看该作者
不对

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紫幻帝

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3# 大 中 小 发表于 2010-7-29 08:52  只看该作者
有反例吗？

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kakarotyjn

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4# 大 中 小 发表于 2010-7-29 12:03  只看该作者
对于任意的a属于A，都有一个a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a......的收敛序列。如果不是hausdorff空间，怎么可能只有一个极限点？

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absence

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5# 大 中 小 发表于 2010-7-29 12:55  只看该作者

回复 4# 的帖子

只要有T1分离性质就可确保该序列只有一极限点。
靜以修身　儉以養德

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absence

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6# 大 中 小 发表于 2010-7-29 12:56  只看该作者
http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_space#Equivalences
Limits in X are unique (i.e. sequences, nets and filters converge to at most one point).
只考虑序列应该是不够的。
http://en.wikipedia.org/wiki/Net_%28topology%29#Properties
In general, a net in a space X can have more than one limit, but if X is a Hausdorff space, the limit of a net, if it exists, is unique. Conversely, if X is not Hausdorff, then there exists a net on X with two distinct limits. Thus the uniqueness of the limit is equivalent  to the Hausdorff condition on the space, and indeed this may be taken as the definition. Note that this result depends on the directedness condition; a set indexed by a general preorder or partial order may have distinct limit points even in a Hausdorff space.
貌似许多距离空间中与序列有关的定理，将“序列”换成“网”就可以在一般拓扑空间中都成立？

[ 本帖最后由 absence 于 2010-7-29 13:01 编辑 ]
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紫幻帝

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7# 大 中 小 发表于 2010-7-29 18:26  只看该作者

回复 6# 的帖子

您能用中文再说一遍吗

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absence

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8# 大 中 小 发表于 2010-7-30 00:41  只看该作者

回复 7# 的帖子

答案就是Hausdorff性等价于“每个网至多有一个极限”，而强于“每个序列至多有一个极限”。
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紫幻帝

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9# 大 中 小 发表于 2010-7-30 23:52  只看该作者

回复 8# 的帖子

能给个例子吗？

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absence

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10# 大 中 小 发表于 2010-7-31 00:58  只看该作者
这里给出了一楼问题的一个反例：
http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_space#cite_ref-3
序列与网的差异与第一可数性有关。
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